shaitan's blog

長文書きたいときに使う。短文書きたいときにも使う。

1988年京大文系B日程問題2

箱庭数学

1988 京都大学 B日程MathJax

f_0(x)=f(x)、f_{k+1}=f_k(x)-f_k(x-1)と定義する。
「すべてのnについてf(n)が整数」
⇔「すべてのnについてf_1(n)が整数」（f(0)=0に注意）
⇔「すべてのnについてf_2(n)が整数、f_k(0)（k=1）が整数」
⇔「すべてのnについてf_3(n)が整数、f_k(0)（k=1, 2）が整数」
⇔「f_k(0)（k=1, 2, 3）が整数」（f_3(n)は高々0次なので定数であることに注意）
ここで、(p, q, r) =(f_3(0), f_2(0), f_1(0))とおくと、
f_2(n)=f_2(0)+\displaystyle\sum_{k=1}^nf_3(k)=pn+q
f_1(n)=f_1(0)+\displaystyle\sum_{k=1}^nf_2(k)=\dfrac{p}2n(n+1)+qn+r
f(n)=f(0)+\displaystyle\sum_{k=1}^nf_1(k)=\dfrac{p}6n(n+1)(n+2)+\dfrac{q}2n(n+1)+rn
ここで、f(x)-\left[\dfrac{p}6x(x+1)(x+2)+\dfrac{q}2x(x+1)+rx\right]は高々3次の多項式であり、根を無限個持つためこれは0に等しい。
すなわちf(x)=\dfrac{p}6x(x+1)(x+2)+\dfrac{q}2x(x+1)+rx。
逆にf(x)=\dfrac{p}6x(x+1)(x+2)+\dfrac{q}2x(x+1)+rx（p, q, rは整数）のとき、f_1(0)=r, f_2(0)=q, f_3(0)=pよりすべてのnについてf(n)は整数である。