問題文 大学入試数学問題集成 > 2017 一橋大学 前期MathJax とおくと、はの解である。ここで、は与えられた式を満たさないのでは相異なる整数解を2つ以上もつ。このとき、の範囲ではは単調増加なので、絶対値が以下となる整数解が少なくとも一つ存在する。（…

問題文 大学入試数学問題集成 > 1990 一橋大学 後期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth の両辺に右からをかけてとなる。ここでは不適なのでである。これより、である。の成分が整数であるからであるが、よりとなる。従ってであり、また、な…

問題文 大学入試数学問題集成 > 2018 京都大学 前期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth 正弦定理よりであるから、トレミーの定理よりとなる。相加平均と相乗平均の関係より…(☆)である。 以下、等号が成立するようなが存在することを示す。 …

の頂点をとおく。の中点をそれぞれとおく。中点連結定理より、、、であるから、四角形は長方形である。長方形の対角線の交点はの中点であるからこれはの重心であり、この点からまでの距離は等しい。同様に、の中点までの距離もこれらに等しいことがいえるの…

(1) の外心をとおく。 を満たすようにをとると、の外心はである。つまり、はを中心とする半径1の円周上にある。 ここで、である。これよりはの中点であるからを中心とする半径1の円周上または内部に存在する。すなわちであり、についても同様。 (2) の外心を…

とおく。被積分関数をとおく。より、よりであるから、最大値はの範囲で求めればよい。 とおくと、（）よりは広義単調増加なので、のとき、よりである。 従って、であるから、最大値はとなる。は周期の周期関数である。はを一周期分積分した値であるからの値…

であり、 となる。 より、 ここで、第一項の被積分関数は、積分区間の範囲で絶対値が1以下なのでであるからはさみうちの原理により第一項は0に収束する。第二項も同様。第三項の被積分関数も積分区間の範囲で絶対値が1以下で、となるから第三項も0に収束する…

xy平面で直線Lと点Aの距離をd(L,A)。相異なる３点A,B,Cが与えられた時f(L)= d(L,A) ^2＋d(L,B)^2＋ d(L,C) ^2とおく。（中略）２）異なる３本の直線がf(L)を最小にするなら△ABCは正三角形であることを示せ。（９３東大後期・理） #数学— 数学問題bot (@mathe…

f(x)=1-sin(x)に対し、g(x)=∫[0,x](x-t)f(t)dtとおく。このとき任意の実数x,yについてg(x＋y)＋g(x-y)≧2g(x)が成り立つことを示せ。（９５東大理系） #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月4日 としてよい。 平均値の定理より、 を満たすが存在す…

を展開したときのの係数を（）とおく。 であるから、（）である。 ここで、であり、（）であるから、、、 、 であり、これが求める係数である。 [2023. 7. 2追記] とする。のの係数はである。 であり、 とおくと、であるから、 となる。 したがって求める係…

(1) とは一対一対応するので、。従って。(2) となる確率をとする。のとき、なので。 従って。 これと(1)より。(3) とが一対一対応するので、。

とおく。 である。 これよりであり、この式の値はによらない。 、であるから、 が奇数のとき、、 が偶数のとき、 となる。 を上の解答と同じように定める。 とおくと、である。 これより、となる。 よってであるから。 従って、 が奇数のとき、、 が偶数のと…

との重心が一致するので、 ⇔ ここで、辺ABと垂直な単位ベクトルに対し、、、であるから、となる。同様にが言えるので示された。

、と定義する。 「すべてのについてが整数」 ⇔「すべてのについてが整数」（に注意） ⇔「すべてのについてが整数、（）が整数」 ⇔「すべてのについてが整数、（）が整数」 ⇔「（）が整数」（は高々0次なので定数であることに注意） ここで、とおくと、 ここ…

より、両辺をで割ったを示せばよい。 より、相加平均と相乗平均の関係からなので示された。

(1) 略(2),(3) 定義よりであり、と定義する。 ここで、命題：「を満たす整数がただ一通り存在する」を、についての帰納法で示す。 は確かになりたつ。ある整数以下のについての成立を仮定すると、 であるから、帰納法の仮定よりが成り立つ。 よって数学的帰…