shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1986年理系問題4

箱庭数学

(1)
\triangle\mathrm{ABC}, \triangle\mathrm{A'B'C'}の外心を\mathrm O, \mathrm O'とおく。
\vec{\mathrm{AD}}=\vec{\mathrm{BE}}=\vec{\mathrm{CF}}=\vec{\mathrm{OM}}, \vec{\mathrm{A'D}}=\vec{\mathrm{B'E}}=\vec{\mathrm{C'F}}=\vec{\mathrm{O'M}}を満たすように\mathrm{D, E, F, D', E', F'}をとると、\triangle\mathrm{DEF}, \triangle\mathrm{D'E'F'}の外心は\mathrm Mである。つまり、\mathrm{D, E, F, D', E', F'}は\mathrm Mを中心とする半径1の円周上にある。
ここで、\vec{\mathrm{MP}}=\dfrac12\left(\vec{\mathrm{MA}}+\vec{\mathrm{MA'}}\right)=\dfrac12\left(\vec{\mathrm{MO}}+\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{MO'}}+\vec{\mathrm{O'A'}}\right)=\dfrac12\left(\vec{\mathrm{MD}}+\vec{\mathrm{MD'}}\right)である。これより\mathrm Pは\mathrm{DD'}の中点であるから\mathrm Mを中心とする半径1の円周上または内部に存在する。すなわち\mathrm{MP}\leq1であり、\mathrm{Q, R}についても同様。
(2)
\triangle\mathrm{PQR}の外心を\mathrm O''とする。このとき、\mathrm M\neq\mathrm O''と仮定して矛盾を導く。
\mathrm{MP}\leq1=\mathrm{O''P}であるから、\mathrm{P}は\mathrm{MO''}の垂直二等分線を境界とする半平面のうち、\mathrm Mを含む側（境界を含む）にある。\mathrm{Q, R}も同様。従って、\mathrm O''は\triangle\mathrm{PQR}の外部にあるが、これは\triangle\mathrm{PQR}が鋭角三角形であることに反する。

また、このとき、\mathrm{DD'}の中点である\mathrm{P}が\mathrm Mを中心とする半径1の円周上にあるが、これは\mathrm D=\mathrm D'のときに限り、このとき\mathrm P=\mathrm D。同様に\mathrm E=\mathrm Q=\mathrm E', \mathrm F=\mathrm R=\mathrm F'であるから、\triangle\mathrm{ABC}\equiv\triangle\mathrm{DEF}=\triangle\mathrm{PQR}=\triangle\mathrm{D'E'F'}\equiv\triangle\mathrm{A'B'C}となる。