京大1991年前期理系問題3（文系問題3）

$V$ の頂点を $\mathrm{A, B, C, D}$ とおく。 $\mathrm{AC, BC, AD, BD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P, Q, R, S}$ とおく。中点連結定理より、 $\mathrm{PQ}=\mathrm{RS}$ 、 $\mathrm{PQ}/\!/\mathrm{RS}$ 、 $\mathrm{PQ}/\!/\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}/\!/\mathrm{QS}$ であるから、四角形 $\mathrm{PQSR}$ は長方形である。長方形 $\mathrm{PQSR}$ の対角線の交点は $\mathrm{PR}$ の中点であるからこれは $V$ の重心であり、この点から $\mathrm{P, Q, R, S}$ までの距離は等しい。同様に、 $\mathrm{AB, CD}$ の中点までの距離もこれらに等しいことがいえるので、 $V$ の各辺の中点は $V$ の重心を中心とする球面上にある。