shaitan's blog

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2018年京大前期理系問題3

箱庭数学

2018 京都大学 前期MathJax

正弦定理より\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=2\sin\alphaであるから、トレミーの定理より\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=4\sin^2\alphaとなる。相加平均と相乗平均の関係よりk\leq\dfrac{\left(\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}\right)^2}4=4\sin^4\alpha…(☆)である。
以下、等号が成立するような\mathrm{A, B, C, D}が存在することを示す。
\theta= \dfrac12\stackrel{\frown}{\mathrm{CD}}\ (0<\theta<\alpha)とおく。f(\theta)=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}-\mathrm{BC}\cdot\mathrm{DA}=4\sin(2\alpha-\theta)\sin\theta-4\sin^2(\alpha-\theta)は\thetaの連続関数であり、f(0)=-4\sin^2\alpha<0,\ f(\alpha)=4\sin^2\alpha>0なので中間値の定理よりf(\theta)=0となる\thetaが存在し、このとき☆の等号成立条件を満たす。
以上より、求めるべきkの値は4\sin^4\alphaである。