2023 京都府立大学 前期MathJax(1) aとbの最大公約数をgとおく。cがgで割り切れることを示せばよい。 bとcの最小公倍数はbで割り切れるのでgの倍数。また、bとcの最小公倍数と最小公倍数の和はaで割り切れるのでこちらもgで割り切れる。 差を取って、bとcの…

2016 名古屋大学 前期MathJax(2) Bの袋から玉を取り出すとき、袋の中に玉が3個あり、そのうちの2個が同じ色である。 ここで2個ある方の色の玉を取り出したとき、そのときに限りBの赤玉の個数が1個になるので .n回の操作を行うとき、各回の終了時にBの赤玉の…

2008 東京大学 前期MathJax(1) ここで、 のとき であるから、 を既約分数で表すと分母は3の倍数ではない。右辺の総和の各項は整数であるから の倍数である。したがって、 は で割り切れるが で割り切れない。(2) は とする。 ここで、2, 9n-7 はいずれも3の…

2005 東北大学 後期MathJaxA君とB君がこの順に1個ずつ玉を取り出す操作を1組として考える。ルールを少し変えて、同じ組で両者が赤の玉を取り出したときには「引き分け」としても、B君が勝つ確率は変わらない。また、勝敗が決まっても最後まで玉を引き続ける…

問題 [60] カナダ数学オリンピック 2008年 問3#不等式bot #InequalityBot pic.twitter.com/ebhqg9SfdG— 不等式bot (@Inequalitybot) 2026年5月15日 Titu's lemmaより . ただし、最後の不等号はMuirheadの不等式による（）。 この式の両辺を二倍したものを3か…

1992 東京大学 後期MathJax(1) を で割った余りのことを とおく。 (i) のとき であり、. (ii) のとき を で割った余りを とおくと、 である。 であるから、.(i)(ii)より示された。(2) 両辺の最高次の次数を比較して すなわち これより は偶数であり、また両…

2016 大阪大学 前期MathJax(1)略 (2) (与式) であり、, のときに等号成立するので求める最大値は である。 答えを見てから書きました。x=yはいいとして、等号成立条件が同時に成立する必要があり、相乗平均の積がキャンセルするためにはどれも変数の数が同じ…

2015 東京大学 前期MathJax は奇数である。よって、 が奇数となる最小の を求めればよい。 のとき の2の因数の数は5未満であり、 なので、 より不適。 は奇数なので求める は32である。

1972 東京大学 2次試験MathJax1+i, 2+i, 2+2i に囲まれる直角二等辺三角形の領域Tを極座標で表すと、 である。ただし とする。 のとき、 であるから、zがTの内部を動くとき、wの動く範囲は となる。よってこの面積は である。 同様に、1+i, 2+2i, 1+2i に囲…

1987 東京大学MathJax のとき成立する。そうでないとき、ある が存在し、 , であるとする。このとき および である。 を と を入れ替える置換とすると のとき が成立する。ここで、 となるので、このような置換を繰り返すことで が広義単調減少するような か…

2011 東京工業大学 特別入学資格試験MathJax, という二等辺三角形を考えると、与式は となり、 は連続関数で , であり、 のとき三角形は存在するから与式は1以上2未満の値を取りうる。 以下、これ以外の値をとらないことを示す。 より 1≦(与式) であり、 三…

1990 東京工業大学 前期MathJax*1(m, n)=(1, 2)を代入して平方根をとると である。 A(x, z), B(-y, -w)とおくと、左辺は線分ABの長さ、右辺は折れ線AOBの長さなので、等号成立はOがAB上にあること、すなわち であることが必要。 逆に、 のとき、 , , , とお…

2008 東京工業大学 前期MathJax とすると、 であるから、 であり、等号成立は ()のとき。…(☆)(1) (☆)でサイコロを振ったときにiの目が出る確率を () とおけば示される。(2) 1回目に奇数、 2回目に偶数が出る確率もQであるから、2回の偶奇が同じ確率は1-2Qで…

2007 京都大学 前期MathJax(1) のとき、 より なので となるから である。 のとき、 は微分可能なので は連続であり、 なので中間値の定理より となる が存在するので不適。 以上より を得る。(2) であり、これを で微分して となる。 のとき、平均値の定理…

1998 京都大学 前期MathJaxPS//QRよりPS//ABCであるからPS//AC、したがって、ACの中点をMとおくと、OBを境界としMを含む半平面αはPSの中点Xを通る。同様にαはQRの中点Yも通る。したがってXYの中点Zも通るが、Zは平行四辺形PQRSの対角線の交点である。 同様に…

1992 京都大学 後期MathJax(1) の点Pにおける法線nおよび接線lとy軸の交点をそれぞれA, Bとおき、∠PAB=θとおく。∠BPA= であるから、PB=PAsinθとなる。 , の中心をそれぞれ , とおく。は直線n上にあり、y軸および直線lとの距離はいずれもrであるから、. につ…

2002 京都大学 前期MathJax(1) 対偶を示す。△ABCは直角もしくは鈍角三角形とする。∠Aが直角ないし鈍角としてよい。 より示された。(2) 円周の中心をOとおき、, , とおく。 である。 等号成立は であるから、△ABCの外心と重心が一致するとき、すなわち△ABCが…

1964 京都大学 文科系・理科系MathJax(1) Rを通りBCと平行な直線とALとの交点をSとおく。BL=LM>SRであり、△BQL∽△RQSよりBQ>RQとなる。 Qを通りBCと平行な直線とAM, ACとの交点をT, Uとおき、Pを通りBCと平行な直線mとAMとの交点をVとおく。 △AQT∽△ALM、△ATU∽…

2005 名古屋大学 後期理学部MathJax(1)略 (2) 勝敗が決まるのは、出る手がちょうど2種類であるときであるから、求める確率はこの余事象なので となる。(3) 勝敗が決まるとき、出た手を相互に入れ替える操作を考えると、勝者の人数はn-Xとなる。これより であ…

2008 京都大学 前期MathJaxAに関してBと対称な点をDとおくと、Dは直線AB上にあり、ND:MD=2:1=NB:MB となる。点CはBDを直径とするアポロニウスの円の周上にあるので、NC:MC=2:1が成り立つ。NC:MC=NB:MBより∠BCN=∠BCMとなる。

2006 京都大学 後期MathJax内心を通り各辺と平行な直線を引くと、三角形は6つの領域に分かれる。三角形の内部の点はいずれかの領域もしくは境界に属するが、どの領域もしくは境界上の点を選んでも、その点から距離がr以上となる辺が存在する。 △ABCの中点三…

2009 京都大学 前期MathJax△ABCの内心をIとおき、BC, CA, ABに接する傍接円の中心をそれぞれJ, K, Lとおく。このときBIとBJは∠ABCの内角と外角をそれぞれ二等分する線であるからIB⊥BJとなる。同様にIC⊥CJであるから、B, C, I, JはIJを直径とする円周上にある…

2009 京都大学 前期MathJax …(☆)であり、Σの中の各項はkが偶数のとき整数、kが奇数のとき整数の 倍であるから、 はkが偶数の項だけの和に等しい。すなわち、 であり、aが奇数なので は奇数。 と が互いに素でないと仮定する。 と の共通の素因数を とおく。…

1959 京都大学 全学部AE'が外接円の直径となるようE’をとると、DがHE'上にあることを示せばよい。 外心をOとおき、, , とおく。 とおくと、 かつ を満たすのでH'は垂心Hである。ここで、 であるから、HとE'の中点をMとおくと、 であるから、MはDに他ならない…