2009 千葉大学 後期理学部数学・情報数理学科MathJax (1) ABとPC, BCとQA, CAとRBの交点をそれぞれT, U, Vとおく。AT:TB=△APC:△BPC、BU:UC=△BQA:△CQA、CV:VA=△CRB:△ARB である。ここで、∠PAC=∠BAR、AP=AP, AC=ARより△APC≡△ABRであり、同様に△BQA≡△BCP、△CRB≡…

2011 千葉大学 前期MathJax, とおく。 であるから、 である。 また、 に代入して整理すると となる。したがって のときに は最大値1 をとるから、 の最大値は1であり、その最大値を与える は である。

2011 千葉大学 前期MathJax(1) 与式を変形して であるから、求める値は右辺の最小値である。相加平均と相乗平均の関係より であり、x=yのときに等号が成立するから、求める値は となる。(2) 相加平均と相乗平均の関係より、 すなわち である。b, c, dについ…

2014 千葉大学 前期MathJax 点(cosθ, sinθ)を点Pとおく。また、点A(1,0), B(1,1), C(0,1) とおき、点Pにおける円の接線とAB, BCとの交点をそれぞれD, Eとおく。 ここで、OP=OA, ∠OAD=∠OPDより△OAD≡△OPDであるからPD=ADである。よってPD+DB=AD+DB=AB=1。同様…

2018 千葉大学 前期MathJax(1), (2) 2～k回目の試行において、カードを何番目に置くかを固定して考える。1回目の試行後に上から 番目のカードがk回目の試行後に上から 番目になるとする。このとき、k回の試行で が 番目になる確率は、1回目の試行で が 番目…

2020 千葉大学 前期MathJax は、点Pにおいて曲線Cと接するか、点 において曲線Cと接する。 点 のx座標を , の式を とおく。 の根は （いずれか一方が重根）であり、 の係数は1, の係数は0であるから、根と係数の関係より である。 の座標は であり、 である…

(1) P, Qのz座標が0なのでMのz座標も0である。RG:GM=2:1であり、Gのz座標が1なので、Rのz座標は3となる。A (0, 0, 3)とおくと、Rは中心A、半径4のxy平面に平行な円の周上を動きうる。B(3, 0, 0)とおくと、AG:GB=RA:MB=2:1であるから、Mは中心B、半径2のxy平…

三角形のある辺Xを考える。正方形は周または内部に含まれるので正方形の4頂点は全てXに対し同じ側にあるかX上にある。もしX上に頂点がない場合、Xからの距離最小の頂点を通りXと平行な直線を引くと、もとの三角形より小さく、正方形を周または内部に含む正三…

与式の左辺第二項、第三項は実数であるから、第一項も実数である。よって は両辺ともに正なので、これにkをかけて平方した は与式と同値である。 ここで であるから が成り立つ。(2) である。 ここで、 を満たす(m,n)は解であり、特に は自然数解であるから…

(1) PはABを1:3に内分する点であるから である。 BCの中点をSとおくと、QS⊥ABである。よって∠QSC=∠BOAとなる。 また、QはOBの垂直二等分線上にあるが、この直線はCを通りOAに平行であるから∠QCS=∠BAOとなる。 よって、△QSC∽△BOAより、 であり、Cは であるか…

(1)(2)略 (3) n本のひもの場合にできる輪の数の期待値を とおく。 である。 ある端は他の2n-1個の端のいずれかと組となる。同じひもの反対側の端と組になる確率は であり、その二つを結んだあとには一つの輪とn-1本のひもが残る。また、同じひもの反対側の端…

漸化式より帰納的に であることが言える。 漸化式の両辺に をかけて、. よって である。 同様に、 より であり、また n となる。 以上より求める最小のnは15である。

とおく。 であるからすべての係数は で割り切れる。 また、与多項式のxの一次の項の係数が である。 これらより、与多項式のすべての係数が で割り切れるような正の整数mのうち最大のものはn+1であるが、これが示すべきことであった。

(2) 3nの約数のうち、3で割り切れないものは全てnの約数であるから、f(3n)=f(n), g(3n)=g(n)となる。よって、3の倍数でないnについてのみf(n), g(n)を考えればよく、以下、nは3の倍数でないとする。 nの素因数のうち、3で割って2余るものの個数をh(n)とする…

東大理科 2026前期 4(1) とおき、点 におけるCの接線を とおく。 の傾きは であるからOを通るとき接線の傾きは最小である。 どの2本の接線も交わるから接線の傾きは相異なり、Pを通る接線の傾きよりQを通る接線の傾きの方が大きいとしてよい。 O, P, Qを通る…