三角形のある辺Xを考える。正方形は周または内部に含まれるので正方形の4頂点は全てXに対し同じ側にあるかX上にある。もしX上に頂点がない場合、Xからの距離最小の頂点を通りXと平行な直線を引くと、もとの三角形より小さく、正方形を周または内部に含む正三角形が得られる。よって、三角形の全ての辺上に正方形の頂点があるとしてよい。
ここで、正三角形の内角は正方形の内角より小さいので、三角形の頂点と正方形の頂点が一致することはないため、全ての端点を除く辺上に正方形の頂点がある。よって、正方形の3頂点が三角形の辺上にあるため、特に正方形の対角線の両端が辺上にある。また、これらは明らかに同一辺上にはない。
さて、正方形の対角線の端点P, Qはそれぞれ正三角形ABCの辺AB, AC上にそれぞれあるとする。AP≧AQとしてよい。PQ、∠PAQは一定であるから、△PAQの外接円の中心をOとおくと、AOはP, Qの取り方によらず定数となる。
また、PQに対してAと反対側にある正方形の頂点をRとおくと、ORも定数である。なぜなら、△OPQ、△RPQはPQを底辺とし、それぞれ頂角が120°、90°の二等辺三角形であるから。
ここで、△APQの外接円とORの交点をMとおく。ORはPQの垂直二等分線であるから弧PM=弧MQより∠PAM=∠MAQなのでAM⊥BCとなる。∠OMA=∠OAMであるから、AMとAO, ORのなす角は等しく、これをθとおくと△ABCの高さは(AO+OR)cosθとなる。したがって、θが最大のときに正三角形の高さが最小、すなわち一辺の長さも最小となることが分かる。
PQに対してAと同じ側にある正方形の頂点をSとおくと、θが最大のとき∠AMPも最大、よって∠APMは最小なので∠APSも最小となる。∠APSのとりうる最小の値は0°であり、∠APS=0°のときSはAP上にある。
このとき、QS=1, ∠QAS=60°、 ∠ASQ=90°であるからAQ= である。また、QR//ABより△CQRは正三角形となるからQC=QR=1。
以上をあわせて求める一辺の長さはAC=AQ+QC= である。
