2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工問題2

与式の左辺第二項、第三項は実数であるから、第一項も実数である。よって $\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}k$ は両辺ともに正なので、これにkをかけて平方した $2k^2(m+\sqrt{m^2-n})=mn$ は与式と同値である。
ここで $m\leq m+\sqrt{m^2-n}<2m$ であるから $2k^2\leq n<4k^2$ が成り立つ。

(2)
$2k^2=\dfrac{mn}{m+\sqrt{m^2-n}}=m(m-\sqrt{m^2-n})$ である。
ここで、 $(m, m-\sqrt{m^2-n})= (2k, k)$ を満たす(m,n)は解であり、特に $(m, n) = (2k, 3k^2)$ は自然数解であるから、任意の自然数kに対し少なくとも一つ自然数解があることが示された。

m,n が自然数のとき、 $\sqrt{m^2-n}$ は整数の平方根であり、有理数でもあるからこれは整数である。したがって $t=m-\sqrt{m^2-n}$ とおくとtは $2k^2$ の約数となる。
ここで $t^2\leq mt=2k^2$ より $t\leq\sqrt2k$ であるが、右辺は無理数なので等号は成立しない。これより $1\leq t<\sqrt2k$ であるから、tの取りうる値の数は $\sqrt2k$ より小さい。
tの値が定まると、 $m, n$ の値も一意に定まるので、自然数解の個数はtの取りうる値の数に等しく、 $\sqrt2k$ より小さい。