2017年早稲田大教育学部問題2

2017 早稲田大学教育学部MathJax

$\dfrac\alpha\beta+1=\dfrac z\beta$ は実数であるから、 $\alpha=az$ （ $a$ は実数）とおける。 $\dfrac\beta\alpha$ も実数なので同様に $\beta=bz$ （ $b$ は実数）とおく。 $\alpha\beta\neq0$ より $z\neq0$ であるから、 $a+b=1$ , $ab=\dfrac{i\bar{z}}{z^2}$ となる。 $ab$ は実数なので $ab=\pm|ab|=\pm\dfrac1{|z|}$ となる。また、 $\arg ab=\arg\dfrac{i\bar{z}}{z^2}=-3\arg z+\dfrac\pi2$ である。

(i) $ab=\dfrac1{|z|}$ のとき
$x^2-1+\dfrac1{|z|}=0$ が実数解を持つ条件は判別式が非負なので $1-\dfrac4{|z|}\geq0$ すなわち $|z|\geq4$ である。
また、 $-3\arg z+\dfrac\pi2=2n\pi$ (n:整数)を $0\leq\arg z<2\pi$ の範囲で解いて $\arg z=\dfrac\pi6, \dfrac56\pi, \dfrac32\pi$ となる。

(ii) $ab=-\dfrac1{|z|}$ のとき
$x^2-1-\dfrac1{|z|}=0$ が実数解を持つ条件は判別式が非負なので $1+\dfrac4{|z|}\geq0$ より $|z|>0$ ならば満たされる。
また、 $-3\arg z+\dfrac\pi2=(2n+1)\pi$ (n:整数)を $0\leq\arg z<2\pi$ の範囲で解いて $\arg z=\dfrac\pi2, \dfrac76\pi, \dfrac{11}6\pi$ となる。

(i)(ii)を図示して（略）

shaitan's blog

長文書きたいときに使う。短文書きたいときにも使う。

2017年早稲田大教育学部問題2