2000年京大前期理系問題4

2000 京都大学前期MathJax
京大理系 2000前期 4

p=2のとき、 $z^2$ の虚部は ab≠0 なので不適。以下、pは奇素数とする。
$z=a+bi$ とおき、 $z^p$ が実数と仮定して矛盾を導く。
$|z|^{2(p-1)}z^2, |z|^{2(p-2)}z^4,\ldots, z^{2p}$ を考える。 $|z|^2=a^2+b^2$ は整数であるから、これらの実部及び虚部はいずれも整数である。また、これらは $z^{2p^2}$ の $p$ 乗根であり、相異なる。なぜならば、これらの中に同じものがあった場合、 $z^{2k}=|z|^{2k}$ を満たす $0< k< p$ が存在するが、 $z^{2p}=|z|^{2p}$ であり、 $k$ と $p$ は互いに素なので $z^2=|z|^2$ が導かれ $z$ が実数となり $b>0$ に反するから。
以上より、これらの点は複素平面*1上で格子正p角形の頂点となる。

(i) p=3 のとき
$\dfrac{z^2}{|z|^2}$ は実数でなく実部及び虚部は有理数である。さらに、1の三乗根でもあるから $\dfrac{-1\pm\sqrt3i}2$ に等しいが、これは $\sqrt3$ が無理数であることに反する。

(ii) p≧5 のとき
格子正p角形の各頂点を表す複素数を反時計回りに $z_k$ とおく（ただし、 $j\equiv k\pmod p$ のとき $z_j=z_k$ とする）*2。 $w_k=z_{k+1}+z_{k-1}-z_k$ とおき、 $z_k, z_{k+1}, w_k$ の表す点をP, Q, Rとおく。Rの定義よりRは格子点であり、対称性よりOPRは一直線上にある。∠QRP=∠QPRは正p角形の内角の半分であるから $\dfrac{\pi(p-2)}{2p}$ であり、∠QOPは $\dfrac{2\pi}p$ である。これよりRはOと一致しない。また、PRの中点Mに対し∠QMP=2∠QRP>∠QOP であるから、RO< POとなる。以上より、 $w_1, w_2, \ldots, w_p$ は $z_k$ のなす格子正p角形より小さな格子正p角形をなす。同様の操作を繰り返すと、無限に小さい格子正p角形が存在することとなり不合理。

格子正n角形はn=4のものしか存在しないことが知られている。無限降下法を使った証明が好きなのでちょっと無理してみたが、この問題を解くだけなら素直に「二項展開して虚部=0とすると、 $p|\binom pk$ （0< k< p）なので $p|b^p$ より $p|b$ であるから $pb^2|pba^{p-1}$ すなわち $b|a^{p-1}$ なので $a, b$ が共通因数pを持ち矛盾」とする方が簡単だし場合分けも不要。
なお、(i)は 2006年京大後期理系問題6(文系問題5) - shaitan's blog の解答と似た議論である。これを36°×5にすれば $(a+bi)^5$ が実数にならないことに帰着されるので(ii)でもいいし、もちろん二項展開とmodでも解ける。
問題ではaとbを互いに素としているが上記の解答から分かるように非零の整数であればよい。二項展開する方法であっても最初に共通因数で割ればいいだけなので特に影響はない。互いに素と書かない方が「互いに素な場合を考えれば十分」との断り書きに部分点を与える可能性を残せるので都合が良い気もするのだが、まあ何か深い考えがあってのことなのであろう。

*1:複素平面のことを複素数平面ともいう。

*2: $z_k=|z|^{2(p-k)}z^{2k}$ とは限らないことに注意。 $z_k$ と $z_{k+1}$ が辺を共有する頂点であることが重要なのだが、反時計回りと言うのが一番手短に表現できる。向きはどうでもよいので「時計回り」で一文字（ネギのことではない）、あるいは「右回り/左回り」なら二文字（ニラのことではない）節約できるが、なんとなく馴染みのある言い回しを使ってしまうものだ。