(1)
PはABを1:3に内分する点であるから である。
BCの中点をSとおくと、QS⊥ABである。よって∠QSC=∠BOAとなる。
また、QはOBの垂直二等分線上にあるが、この直線はCを通りOAに平行であるから∠QCS=∠BAOとなる。
よって、△QSC∽△BOAより、 であり、Cは
であるから、Qは
となる。
(2)
ACの垂直二等分線とOAの交点をTとおく。∠QSC=∠TPA, ∠QCS=∠TAP, SC=APより△QSC≡△TPAである。よって、四辺形SQTPは長方形となる。∠PTQ= であるから、Tは求めるRの一つである。
AT=CQであるから、Tは である。
T以外の求めるRは、PQを直径とする円とOAの交点でありTでないものであるから高々1つしかなく、それをUとおく。
さて、ここでSはPQを直径とする円周上にあるので、方べきの定理より となるから、Uは
である。
以上より、求めるRは と
である。
(3)
有向角を考えると∠QPU=∠QTU=∠BAOであり、∠QUP=∠BOAであるから、△PQU∽△ABOである。
∠PQT=∠QPS<∠QCS=∠BAOであるから、△QPT∽△ABOは成立しない。△PQT∽△ABOのとき∠PQT=∠ABO=∠PQUであり、TはUと一致する。
これらより求めるRは である。
三角形で相似の対応する点が分かりやすいようにするため、「有向角を考えると」と書いているところ以外の角度は向きのない角度とした。
