円の中心を原点Oとおき、Q (a, b)、R (a, -b)、ただし(0≦a, b)とおいても一般性を失わない。
Pのx座標をpとおく。S=|a-p|bであるから、a, bを固定したときp=-1のとき最大となるからこの場合のみ考えればよい。
aの値を決めるとbの値が決まるので、 はaの関数。S(±1)=0 とおくとSは-1≦a≦1の範囲で連続なので最大値を与えるaが存在する。a=±1のとき明らかに最大値ではないから、Sの最大値を与えるようなQ, Rが存在する。
このとき、RはPQから最も遠い 上の点なので、Rにおける
の接線はPRと平行である。つまりOQ⊥PRとなる。
より
となる。
従って求める面積は となる。
