2011年東工大AO I-2 - shaitan's blog

2011 東京工業大学特別入学資格試験MathJax

$a=b$ , $c=ka$ という二等辺三角形を考えると、与式は $f(k)=\dfrac{2+k^2}{1+2k}$ となり、 $f$ は連続関数で $f(1)=1$ , $f(2)=2$ であり、 $1\leq k<2$ のとき三角形は存在するから与式は1以上2未満の値を取りうる。
以下、これ以外の値をとらないことを示す。
$0\leq(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$ より 1≦(与式) であり、
三角不等式より $a+b-c>0$ , $b+c-a>0$ , $c+a-b>0$ なので
$0<(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)$ $=2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$ より(与式)<2 である。

問題 [39] 東工大 2011 AO 問2 改題#不等式bot #InequalityBot pic.twitter.com/pYjZaEQyu4
— 不等式bot (@Inequalitybot) 2026年5月4日

$A$ を求める。 $a\leq b\leq c$ として $a+b$ と $c$ を固定したとき、
(与式) $=\dfrac{(a+b)^2+c^2-2ab}{(a+b)c+ab}$ は $ab$ について単調減少。したがって $ab$ が最大のとき、つまり $a=b$ のときのみ考えればよい。よって $f(k)$ の最小値がAとなるが、 $2\sin\dfrac\theta2\leq k<2$ であり、 $f$ は $1< k$ で単調増加なのでその最小値は $f\left(2\sin\dfrac\theta2\right)=\dfrac{4-2\cos\theta}{1+4\sin\dfrac\theta2}$ である。
また、 $B\geq f(2)=2$ および $B\leq2$ （東工大の元の問題と同様に示せる）であるから $B=2$ となる。