shaitan's blog

長文書きたいときに使う。短文書きたいときにも使う。

2011年千葉大前期問題14

箱庭数学

2011 千葉大学 前期MathJax

(1)
与式を変形して
a\leq\sqrt{\dfrac xy+\dfrac yx}-\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}=-2\left(\sqrt{\dfrac xy+\dfrac yx}+\sqrt{\dfrac xy}+\sqrt{\dfrac yx}\right)^{-1}
であるから、求める値は右辺の最小値である。相加平均と相乗平均の関係より \dfrac xy+\dfrac yx\geq2, \sqrt{\dfrac xy}+\sqrt{\dfrac yx}\geq2 であり、x=yのときに等号が成立するから、求める値は \dfrac{-2}{\sqrt2+2}=\sqrt2-2 となる。

(2)
相加平均と相乗平均の関係より、\dfrac13=\dfrac13\left(a^2+\dfrac{1-a^2}2+\dfrac{1-a^2}2\right)\geq\sqrt[3]{\dfrac{a^2(1-a^2)^2}4}
すなわち a^2(1-a^2)^2\leq\dfrac4{27} である。b, c, dについての同様の式と辺々かけて、(abcd)^2\left\{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)\right\}^2\leq\left(\dfrac4{27}\right)^4 となる。
これより「abcd>\dfrac4{27} かつ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2)>\dfrac4{27}」は成立しないから示された。