shaitan's blog

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2024年上智大TEAP理系問題3

箱庭数学

2024 上智大学 TEAP理系2月6日実施MathJax

(1)
f(x)=\dfrac{e^x}x とおく。f'(x)=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}…☆ である。
極値をとるのは f'(x)=0 つまり x=1 のときであり、その値は f(1)=e である。
x\to+0, \infty のとき f(x)\to\infty であり、これらと極値をとる x=1 との間の変化は単調であることに注意すると、グラフは（略）。

(2)
☆の両辺を a から 2a まで積分して、
(与式左辺)-(与式右辺) =\Bigl[f(x)\Bigr]_a^{2a}=\left(\dfrac{e^a}2-1\right)f(a)
であるから、これが0となるとき e^a=2 すなわち a=\ln2 である。

(3)
(与式左辺)-(与式右辺) =\displaystyle\int_m^n\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\mathrm dx となる。右辺の被積分関数は x>1 のとき正である。m, n\geq1 であり、これらが相異なるので積分の値は0ではない。したがって与式の等号は成立しない。