2000年京大理系問題3

2000 京都大学前期MathJax
京大理系 2000前期 3

(1)
$\vec c$ の方向がZ軸正方向となり、 $\vec a$ がXZ平面に含まれるように*1、直交するXYZ座標をとる。このとき、Z軸と $\vec a, \vec b$ のなす角はそれぞれ α、βであることに注意すると、
$\vec a=(\sin\alpha, 0, \cos\alpha), \vec b=(\sin\beta\cos\theta, \sin\beta\sin\theta, \cos\beta)$ となる。ここで、 $\vec a$ と $\vec b$ のなす角が $\dfrac\pi3$ であるから、 $\dfrac12=\cos\dfrac\pi3=\vec a\cdot\vec b=\sin\alpha\sin\beta\cos\theta+\cos\alpha\cos\beta$ となる。両辺から $\cos\alpha\cos\beta$ を引いて平方して、 $\cos^2\alpha\cos^2\beta-\cos\alpha\cos\beta+\dfrac14=\sin^2\alpha\sin^2\beta\cos^2\theta\leq(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)=\cos^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha-\cos^2\beta+1$ となるが、これを整理すると(*)が得られる。

(2)
(1)の計算より、
(*)
⇔ $\left(\dfrac12-\cos\alpha\cos\beta\right)^2\leq\sin^2\alpha\sin^2\beta$
⇔ $-\sin\alpha\sin\beta\leq\dfrac12-\cos\alpha\cos\beta\leq\sin\alpha\sin\beta$
⇔ $\cos(\alpha+\beta)\leq\dfrac12\leq\cos(\alpha-\beta)$
⇔ $\dfrac\pi3\leq\alpha+\beta\leq\dfrac{5\pi}3$ かつ $-\dfrac\pi3\leq\alpha-\beta\leq\dfrac\pi3$
(図省略)

(1)
$\vec e_1=\vec a-\vec b$ , $\vec e_2=\dfrac{\vec a+\vec b}{\sqrt3}$ , $\vec e_3=(0, 0, 1)$ とおくと、 $\vec e_i\cdot\vec e_j=\delta_{i j}$ なので*2、 $\vec c=\displaystyle\sum_{i=1}^3(\vec c\cdot\vec e_i)\vec e_i$
これより $1=|\vec c|^2=\displaystyle\sum_{i=1}^3 (\vec c\cdot\vec e_i)^2\geq (\vec c\cdot\vec e_1)^2+ (\vec c\cdot\vec e_2)^2=\dfrac43\text{((*)の左辺)}$ であるから示された。

(2)
(*)が成り立つとき、 $\vec d=(\cos\alpha-\cos\beta)\vec e_1+\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta}{\sqrt3}\vec e_2+t\vec e_3$ とおく。ただし $t=\sqrt{1-\dfrac43\text{((*)の左辺)}}$ とする。このとき、 $|\vec d|=1, \vec a\cdot\vec d=\cos\alpha, \vec b\cdot\vec d =\cos\beta$ であるから、(*)が成り立つなら(1)の条件を満たすベクトル $\vec c$ が存在する。(1)の結果と合わせて、(*)は(1)の条件を満たすベクトル $\vec c$ が存在することと同値。よって求める範囲は球面における三角不等式より $\dfrac\pi3\leq\alpha+\beta\leq\dfrac{5\pi}3$ かつ $-\dfrac\pi3\leq\alpha-\beta\leq\dfrac\pi3$ (図省略)。

(2)
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1+\dfrac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)=1+\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2$
であるから、
(*)
⇔ $\left(\cos(\alpha+\beta)-\dfrac12\right)\left(\cos(\alpha-\beta)-\dfrac12\right)\leq0$
⇔ 「 $\dfrac\pi3\leq\alpha+\beta\leq\dfrac{5\pi}3$ かつ $-\dfrac\pi3\leq\alpha-\beta\leq\dfrac\pi3$ 」または「 $\alpha+\beta\leq\dfrac\pi3, \dfrac{5\pi}3\leq\alpha+\beta$ かつ $|\alpha-\beta|\geq\dfrac\pi3$ 」
⇔ $\dfrac\pi3\leq\alpha+\beta\leq\dfrac{5\pi}3$ かつ $-\dfrac\pi3\leq\alpha-\beta\leq\dfrac\pi3$
(図省略)

(2)
$\cos\alpha, \cos\beta$ が同符号のとき、∠A= $\dfrac\pi3$ , $\mathrm{AB}=|\cos\alpha|, \mathrm{AC}=|\cos\beta|$ である△ABCを考えると、余弦定理より(*)の左辺= $\mathrm{BC}^2$ である。よって、
正弦定理より(*)の等号成立条件は△ABCの外接円の半径が $\dfrac12$ であること。このとき、∠B= $\left|\dfrac\pi2\pm\beta\right|$ , ∠C= $\left|\dfrac\pi2\pm\alpha\right|$ となるので、三角形の内角の和を考えて $|\alpha\pm\beta|=\dfrac\pi3, \dfrac{5\pi}3$ となる。 $\cos\alpha, \cos\beta$ が異符号のときは∠A= $\dfrac{2\pi}3$ とすれば同様。 $\cos\alpha, \cos\beta$ のいずれか一方が0のとき、他方は $\dfrac{\sqrt3}2$ であり、 $\{\alpha, \beta\}=\left\{\dfrac\pi2, \dfrac\pi2\pm\dfrac\pi3\right\}$ となるので、この条件も $|\alpha\pm\beta|=\dfrac\pi3$ に含まれる。
以上より、 $0\leq\alpha, \beta\leq\pi$ には(*)の等号が成立しない5つの凸領域がある。これらの領域のそれぞれにおいて、領域内のある点で(*)が成立することと、領域内の任意の点で(*)が成立することは同値である。なぜなら、領域内に(*)が成立する点と成立しない点があると仮定すると、それらを結ぶ線分もこの領域に含まれるが、中間値の定理よりその線分上で(*)の等号が成立する点が存在するので矛盾するからである。よって、それぞれの領域内の一点について調べればよい。
$(\alpha, \beta)=\left(\dfrac\pi2\pm\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\pm\dfrac\pi2\right)$ のとき(*)が成立せず、 $(\alpha, \beta)=\left(\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ のとき(*)が成立するので、求める範囲は（略）。

最初の解答の $\vec a$ と $\vec b$ の内積の式は球面三角法の余弦定理である。
上記の解答はいずれも基底の取り換えを行っている。問題文で（ $|\vec a|=|\vec b|=1$ , $\vec a\cdot\vec b=\dfrac12$ だけでもいいところを）わざわざ座標を設定して $\vec a$ と $\vec b$ の成分を書き下してあるので、それを使って解いて欲しいのだろうが。

*1: $\vec a$ と $\vec c$ は必ずしも面を張るとは限らないため、このような言い回しをしている。

*2: $\delta_{i j}=\begin{cases}1 & i=j\\0& i\neq j\\\end{cases}$ はクロネッカーのデルタ

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2000年京大理系問題3