1996年京大後期理系問題4

1996 京都大学後期MathJax
与えられた条件は、 $1, \sqrt{x+y}, \sqrt{x-y}$ を三辺とする三角形Tが存在し、その外接円の半径が1未満であるということと同値である。
$x\pm y>0$ が必要である。以下、この条件のもとで考える。
三角不等式は $\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}>1$ , $\left|\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}\right|<1$
⇔ $2x+2\sqrt{x^2-y^2}>1$ , $2x-2\sqrt{x^2-y^2}<1$
⇔ $-1<\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-y^2}}<1$
であり、この中辺はTの対辺の長さが1となる角の大きさをθとおいたときの $\cos\theta$ の値である（∵余弦定理）。
Tの外接円の半径が1未満であることは正弦定理より $\dfrac1{2\sin\theta}<1$ と同値である。
これを変形して、 $\cos^2\theta<\dfrac34$ （このとき三角不等式は成立する）より $\dfrac{(2x-1)^2}{x^2-y^2}<3$ ⇔ $(x-2)^2+ 3y^2<3$ が求める領域となる（これは $x\pm y>0$ を満たす）。（図省略）

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1996年京大後期理系問題4