名古屋大1962年前期理系問題4

$g(x)=f(2x+1), h(x)=\dfrac{g(x)+g(-x)}2$ とおく。 $h(x)$ は三次以下の偶関数なので $ax^2+b$ とおくと、
$\displaystyle\int_0^1f(x)\mathrm dx=\dfrac12\int_{-1}^1g(x)\mathrm dx=\int_0^1h(x)\mathrm dx$
$\displaystyle=\dfrac{a}3+b=h\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)=\dfrac12\left\{g\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)+g\left(-\dfrac1{\sqrt3}\right)\right\}$
$=\dfrac12\left\{f\left(1+\dfrac2{\sqrt3}\right)+f\left(1-\dfrac2{\sqrt3}\right)\right\}$
であるから示された。

存在を示せばいいので求める必要はないが、計算して等号でつないでしまうのが手っ取り早い。試験場だと、線形性から $f(x)=x^n$ の場合だけ考えれば十分として $\dfrac{p^n+q^n}2=\dfrac1{n+1}$ （ $n=0, 1, 2, 3$ ）を解くのが素直か。
問題の元ネタはGauss–Legendre公式。
参考：
manabitimes.jp

[元ネタに忠実な別解]
$g(x)=\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left\{x^2(x-1)^2\right\}$ とおく。
$g(x)$ は二次式なので $f(x)=h(x)g(x)+ax+b$ とおける。ただし、 $h(x)$ は一次の多項式、 $a,b$ は定数である。
ここで、 $\displaystyle\int_0^1h(x)g(x)\mathrm dx = \biggl[h(x)\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left\{x^2(x-1)^2\right\}\biggr]_0^1-h'(x)\biggl[x^2(x-1)^2\biggr]_0^1=0$ が成り立つので $\displaystyle\int_0^1f(x)\mathrm dx =\int_0^1(ax+b)\mathrm dx=\dfrac a2+b$ となる。
さて、 $x^2(x-1)^2$ は $x=0, 1$ で極小となり、その間で極大となるので中間値の定理より $g(x)$ は実根を二つ持つ。それらをそれぞれ $p, q$ とおくと、 $g(x)$ は $x=\dfrac12$ に関して対称なので $p+q=1$ となる。また、 $f(p)=h(p)g(p)+ap+b=ap+b$ 、同様に $f(q)=aq+b$ 、これらより $\dfrac12\left\{f(p)+f(q)\right\}=\dfrac a2+b$ となり、与えられた関係式を満たす。

$y=x^2(x-1)^2$ のグラフが変曲点を二つ持つということなので明らかだが、説明するとなると面倒である。上のが説明になってるかどうかもよく分からん。変なことせずに微分の計算した方がいいのだが、 $p, q$ の値を求めないで解こうとするとこんな感じか。