東工大2023年前期問題1

(与式) $<\displaystyle\int_0^{2023}\frac2{e^x}\mathrm dx=\Bigl[-2e^{-x}\Bigr]_0^{2023}=2(1-e^{-2023})<2$ である。
さて、 $y=e^x$ は下に凸なので、 $(1, e)$ における接線 $y=ex$ は接点をのぞき下側にある。つまり $e^x\geq ex$ (等号成立は $x=1$ )。
これより、 $0\leq x$ のとき $0< x+e^x\leq(e^{-1}+1)e^x$ となるから、
(与式) $\geq\displaystyle\int_0^{2023}\frac2{(e^{-1}+1)e^x}\mathrm dx$ $=2\cdot\dfrac{1-e^{-2023}}{1+e^{-1}}$ $\geq2\cdot\dfrac{1-e^{-2}}{1+e^{-1}}=2(1-e^{-1})\geq1$ 。
ただし、 $e^2\geq2e$ より $e\geq2$ であることを用いた。
以上より求める整数部分は $1$ である。