名古屋市立大1966年 - shaitan's blog

$a, b$ を正の整数とする。このとき
(1) $\sqrt2$ が $\dfrac ba$ と $\dfrac{2a+b}{a+b}$ との間にあることを示せ。
(2) $\sqrt2$ は $\dfrac ba$ と $\dfrac{2a+b}{a+b}$ のどちらに近いか。*1

$\sqrt2=\dfrac{(\sqrt2-1)a}{\sqrt2a+b}\cdot\dfrac ba+\dfrac{a+b}{\sqrt2a+b}\cdot\dfrac{2a+b}{a+b}$ である。
(1)
$0<\dfrac{(\sqrt2-1)a}{\sqrt2a+b},\ \dfrac{a+b}{\sqrt2a+b}$ であり、 $\dfrac{(\sqrt2-1)a}{\sqrt2a+b}+\dfrac{a+b}{\sqrt2a+b}=1$ であるから、 $\sqrt2$ は $\dfrac ba$ と $\dfrac{2a+b}{a+b}$ の加重平均である。
$\sqrt2$ は無理数であり $\dfrac ba$ や $\dfrac{2a+b}{a+b}$ とは一致しないので、 $\dfrac ba$ と $\dfrac{2a+b}{a+b}$ との間にある。
(2)
$\dfrac{(\sqrt2-1)a}{\sqrt2a+b}<\dfrac{a+b}{\sqrt2a+b}$ であるから、 $\sqrt2$ は $\dfrac{2a+b}{a+b}$ に近い。

これの $\sqrt3$ バージョンを見たことがあるんですけど、何年のどこの問題だったか分からなくなってしまいました。

p,q,r,s>0について(p+r)/(q+s)はp/qとr/sの間にある．p=(√3-1)a,q=(√3-1)b,r=a+3b,s=a+bとおけば題意は示される．http://bit.ly/fgcYva
— しゃいたん (@faogr) 2010年11月30日

[2022.12.4 追記]
ペル方程式が背景にある問題ですね。 $(1-\sqrt2)(b-\sqrt2a)=(2a+b)-\sqrt2(a+b)$ の関係を使って、 $\dfrac ab-\sqrt2$ と $\dfrac{2a+b}{a+b}-\sqrt2$ の符号や絶対値を比較しても良いと思います。

*1:鈴木貫太郎『大学入試数学不朽の名問100』講談社ブルーバックス（2021）問題67