2022年4月第1週 ―電線のたるみと実長の式―

■今週の写経ピックアップ

うさ太郎さんは電験の問題を写経している（えらい）

電験の過去問を4問写経した(電線のたるみ)(えらい)
— うさ太郎 (@_usataro_) 2022年4月1日

電線のたるみ、謎の公式
— しゃいたん (@faogr) 2022年4月1日

カテナリーなのは分かってるけど、何かいい感じの近似を入れたら出てくるんだろうなあと思いつつ、ちゃんと考えたことがない
— しゃいたん (@faogr) 2022年4月1日

■今週の箱庭数学*1

さて、この電線のたるみと実長の近似式を導出してみたいと思う。
問題設定として、高低差のない支持点間に電線が張られるという状況を考える。径間を $S$ 、電線の単位長さあたり荷重*2を $W$ 、水平方向の張力を $T$ 、電線の実長を $L$ とする。
このとき、長さの次元を持つ適当な定数 $C$ を用いて無次元化すると、電線の形状は $y=\cosh x$ と書ける*3。位置 $x$ における傾きは $\sinh x$ であるから、実長は $\displaystyle\frac LC=2\int_0^{\frac S{2C}}\sqrt{1+\sinh^2x}\mathrm{d}x=2\sinh\dfrac S{2C}$ である。
端点における張力の水平成分、垂直成分はそれぞれ $T, \dfrac{LW}2$ であるから、張力の傾きは $\dfrac{LW}{2T}$ 、これは端点における電線の傾き $\sinh\dfrac S{2C}$ に等しい。
これらより $C=\dfrac TW$ となる。
従ってたるみは $\dfrac DC=\cosh\dfrac S{2C}-1=\cosh\dfrac{SW}{2T}-1$ となる。
ここで、端点における電線の傾き $\sinh\dfrac{SW}{2T}$ は十分小さい、つまり $\dfrac{SW}{2T}\ll 1$ として、coshをTaylor展開して二次の項まで取る*4と、 $D\approx\dfrac{S^2W}{8T}$ が得られる。
また、sinhをTaylor展開して三次の項まで取ると、実長の近似式 $L=2C\sinh\dfrac S2\approx S+\dfrac{S^3}{24C^2}\approx S+\dfrac{S^3}{24}\cdot\left(\dfrac{8D}{S^2}\right)^2=S+\dfrac{8D^2}{3S}$ を得る。