東大2022年前期理系問題4

問題略

$f(x)=x^3-x$ とおく。
直線 $y=mx$ が曲線 $C$ と相異なる3点で交わる
$\Leftrightarrow f(x)-mx=0$ が相異なる3実解を持つ
$\Leftrightarrow m>-1$
このとき、直線 $y=mx$ と曲線 $C$ はいずれも原点対称であるから、これらが囲む2つの部分の面積は等しい。
従って、 $y=mx\quad (m>-1)$ の通過する領域 $D$ に含まれる点は条件(ii)を満たす。
領域 $D$ は $(x+y)x>0$ を満たす領域と原点の和集合である（図示略）。

領域 $D$ に含まれない点P(a, b)を考える。対称性よりPは $C$ の下側にあるとしてよい。
点Q $(a+1, f(a+1)+1)$ とおくとQは $C$ の上側にある。
よって、直線PQの式を $y=g(x)$ とおくと $f(a)-g(a)>0, f(a+1)-g(a+1)<0$ 。
また、 $f(x)-g(x)$ の最高次の項は $x^3$ なので $\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-g(x))=\pm\infty$ （複号同順）
これらより、中間値の定理から $f(x)-g(x)=0$ は相異なる3実解を持つ、つまり点Pは条件(i)を満たす。

領域 $D$ に含まれない点R、点Rを通り曲線 $C$ と相異なる3点で交わる直線 $\ell: y=h(x)$ を考える。
$\ell$ と $C$ の交点の $x$ 座標を小さい方から順に $\alpha, \beta, \gamma$ とおく。
$f(x)-h(x)$ の2次の項は0なので解と係数の関係より $\alpha+\beta+\gamma=0$ であるから $\alpha<0<\gamma$ であるが、対称性より $\beta>0$ としてよく、このとき $\gamma<-\alpha$ である。
さて、ここで点 $(\alpha, f(\alpha))$ と原点を通る直線 $k: y=k(x)$ を考える。 $\alpha<0<\gamma$ より $h(0)< f(0)=0$ であるから、 $x>\alpha$ で $k$ は $\ell$ の上側にある。
従って $\displaystyle\int_\alpha^\beta(f(x)-h(x))\mathrm{d}x>\int_\alpha^0(f(x)-k(x))\mathrm{d}x$
$\displaystyle=\int_0^{-\alpha}(k(x)-f(x))\mathrm{d}x>\int_\beta^\gamma(h(x)-f(x))\mathrm{d}x$ より点Rは条件(ii)を満たさない。