shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大2023年前期問題1

箱庭数学

(1) 略
(2)
\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}=\dfrac1{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}<\dfrac1{2\sqrt{k+1}}、
\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\dfrac1{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\dfrac1{2\sqrt{k}}であるから、
(1)の結果より\dfrac{2(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1})}{\sqrt\pi}< A_k<\dfrac{2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})}{\sqrt\pi}となる。
k=nからk=2nまでの和をとり、辺々を\sqrt nで割ると
\dfrac{2(\sqrt{2n+2}-\sqrt{n+1})}{\sqrt{n\pi}}< B_n< \dfrac{2(\sqrt{2n}-\sqrt{n-1})}{\sqrt{n\pi}}である。
n\to\inftyのとき左辺、右辺ともに\dfrac{2(\sqrt2-1)}{\sqrt\pi}に収束するので、はさみうちの原理により求める極限の値もこの値に等しい。