京大2023年前期理系問題6

(1)
$\cos3\theta=\mathrm{Re}[(\cos\theta+i\sin\theta)^3]$ $=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$ $=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ .
$\cos4\theta=\mathrm{Re}[(\cos\theta+i\sin\theta)^4]$ $=\mathrm{Re}[(\cos^2\theta+2i\cos\theta\sin\theta-\sin^2\theta)^2]$ $=(2\cos^2\theta-1)^2-4\cos^2\theta\sin^2\theta$ $=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$ .
(2)
ある正の整数 $m, n$ が存在し、 $\theta=\dfrac{m}n\cdot\pi$ となるとき、
$0=\sin n\theta=\mathrm{Im}(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\mathrm{Im}[(\cos\theta+i\sin\theta)^n]$ .
辺々に $p^n$ をかけて、
$0=\mathrm{Im}[(1+ip\sin\theta)^n]$ $=\dfrac1i\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\binom{n}{2k+1}(ip\sin\theta)^{2k+1}$ $=p\sin\theta\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\binom{n}{2k+1}(1-p^2)^k$ .
さらに辺々を $p\sin\theta(\neq0)$ で割って、
$0=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\binom{n}{2k+1}(1-p^2)^k\equiv\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\binom{n}{2k+1}\pmod{p}$
$=\displaystyle\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}\dfrac{1-(-1)^j}2=\dfrac{(1+1)^n-(1-1)^n}2=2^{n-1}$ .
したがって、 $0\equiv2^{n-1}\pmod{p}$ となるので $p|2^{n-1}$ だが、これは $p$ が奇素数ということに反する。
よって、 $\theta=\dfrac{m}n\cdot\pi$ となるような正の整数 $m, n$ は存在しない。