shaitan's blog

長文書きたいときに使う。短文書きたいときにも使う。

1987年東大理系問題5

箱庭数学

1987 東京大学MathJax

z_k=y_k (i=1, 2,\ldots, n) のとき成立する。そうでないとき、ある i が存在し、z_k=y_k (k< i), z_i\neq y_i= z_j であるとする。このとき z_i< z_j および i< j である。\sigma を i と j を入れ替える置換とすると k< i+1 のとき z_{\sigma(k)}=y_k が成立する。ここで、
\displaystyle\sum_{k=1}^n(x_k-z_k)^2-\sum_{k=1}^n(x_k-z_{\sigma(k)})^2=\left\{(x_i-z_i)^2+(x_j-z_ j)^2\right\}-\left\{(x_i-z_j)^2+(x_j-z_ i)^2\right\}=2(x_i-x_j)(z_j-z_i)\geq0
となるので、このような置換を繰り返すことで \displaystyle\sum_{k=1}^n(x_k-z_k)^2 が広義単調減少するような z_1, z_2,\ldots, z_n から y_1, y_2,\ldots, y_n に至る数列の列を作ることができる。よって示された。


ほぼ並べ替え不等式の証明と同じである。
置換は有限通り（n!）しかないので、もし全ての不等号に等号が入っていなければ「y_1, y_2,\ldots, y_n に一致しないときには数値を入れ替えるとそれ未満の値を与える数列が作れるから y_1, y_2,\ldots, y_n のとき最小」といえる。この解答では i のような値を設定し、y_1, y_2,\ldots, y_n に近づくことを明示した。