shaitan's blog

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1959年京大数学I幾何問題2

箱庭数学

1959 京都大学 全学部

AE'が外接円の直径となるようE’をとると、DがHE'上にあることを示せばよい。
外心をOとおき、\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}, \vec c=\overrightarrow{\mathrm{OC}} とおく。
\overrightarrow{\mathrm{OH'}}=\vec a+\vec b+\vec c とおくと、\overrightarrow{\mathrm{AH'}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 かつ\overrightarrow{\mathrm{BH'}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0 を満たすのでH'は垂心Hである。ここで、\overrightarrow{\mathrm{OE'}}=-\vec a であるから、HとE'の中点をMとおくと、\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac12\left(\vec b+\vec c\right) であるから、MはDに他ならない。よって示された。