shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

1993年京大前期文理共通問題5

箱庭数学

1993 京都大学 前期MathJax

同じことをしてn回以上奇数の目が出る確率も同様に p_n である。さいころを投げたとき、偶数の目か奇数の目の少なくとも一方はn回以上でるので、2p_n-1 はさいころを2n回投げて偶数の目と奇数の目がn回ずつ出る確率となる。
この確率を最初のn回でk回、後のn回でn-k回偶数の目が出る確率と考えて計算すると、
2p_n-1=\dfrac1{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk\binom n{n-k}=\dfrac1{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk^2
ここで、m = \dfrac1{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk=\dfrac{2^n}{n+1} とおくと、
0\leq\dfrac1{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\binom nk-m\right)^2=2p_n-1-\dfrac{(n+1)m^2}{2^{2n}}=2p_n-1-\dfrac1{n+1} であるから、これを整理して p_n\geq\dfrac12+\dfrac1{2(n+1)}\geq\dfrac12+\dfrac1{4n} より示された。


p_n=\dfrac1{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\binom {2n}k=\dfrac1{2^{2n+1}}\displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\left(\binom {2n}k+\binom{2n}{2n-k}\right)=\dfrac1{2^{2n+1}}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\binom {2n}k+\binom{2n}n\right)=\dfrac12+\dfrac1{2^{2n+1}}\displaystyle\binom{2n}n より \displaystyle\binom{2n}n\geq\dfrac{2^{2n-1}}n を示せばよい。
1\leq k\leq2n に対し、\displaystyle(k+1)\binom{2n}{k+1}=(2n-k)\binom{2n}k より \displaystyle\binom{2n}n\geq\binom{2n}k であり、また \displaystyle\binom{2n}n\geq2=\binom{2n}0+\binom{2n}{2n} であるから、2n\displaystyle\binom{2n}n\geq\displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1}\binom {2n}k+\binom{2n}0+\binom{2n}{2n}=2^{2n} より示された。