shaitan's blog

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2006年阪大前期理系問題3

2006 大阪大学 前期MathJax
阪大理系 2006前期 3

(1)略
(2)
f(x)=x(x+1)\cdots(x+n)\displaystyle\sum_{r=0}^n(-1)^r\dfrac{_n\mathrm C_r}{x+r} とおくと、f(x) は高々n次の多項式である。
m=0, 1,\ldots, n に対し、f(-m)=(-1)^mm!(n-m)!(-1)^m\displaystyle\binom nm=n! であり、相異なるn+1個のxに対し f(x)=n! が成り立つのでこの式は恒等的に成り立つ。この両辺を x(x+1)\cdots(x+n) で割って示すべき式を得る。