2024年一橋大後期問題3

2024 一橋大学後期MathJax

(1)
求める確率はn回目以外に2以外の目が出て、n回目に2が出る確率なので $\dfrac{5^{n-1}}{6^n}$

(2)
求める確率を $p_n$ とおき、同様に $\mathrm P_k=\mathrm A_2$ となるkが1つ以下となる確率を $q_n$ とおく。ただし $q_n$ は $n\geq1$ の範囲で考える。
$q_n$ を求める。 $\mathrm P_1=\mathrm A_2$ かどうかで場合分けをする。 $\mathrm P_1=\mathrm A_2$ のときには2回目は1か3が出る必要があることに注意すると、
$n\geq1$ のとき $q_{n+1}=\dfrac16\cdot\dfrac26\cdot\left(\dfrac56\right)^{n-1}+\dfrac56\cdot q_n$
従って $\left(\dfrac65\right)^{n+1}q_{n+1}=\dfrac2{5^2}+\left(\dfrac65\right)^nq_n$
$q_1=1$ であるから、 $n>1$ のとき $\left(\dfrac65\right)^nq_n=\dfrac{2(n-1)}{5^2}+\dfrac65$ となるが、 $n=1$ のときもこれは成り立つ。

$p_n$ を求める。 $\mathrm P_1=\mathrm P_2=\mathrm A_2$ 、 $\mathrm P_1=\mathrm A_2\neq\mathrm P_2$ 、 $\mathrm P_1\neq\mathrm A_2$ で場合わけする。これらは排反でありすべての場合を尽くす。
$n\geq2$ のとき $p_{n+1}=\dfrac16\cdot\dfrac46\cdot\dfrac26\cdot\left(\dfrac56\right)^{n-2}+\dfrac16\cdot\dfrac26\cdot q_{n-1}+\dfrac56\cdot p_n$
従って $\left(\dfrac65\right)^{n+1}p_{n+1}=\dfrac8{5^3}+\dfrac2{5^2}\left(\dfrac65\right)^{n-1}q_{n-1}+\left(\dfrac65\right)^np_n=\dfrac8{5^3}+\dfrac2{5^2}\left(\dfrac{2(n-2)}{5^2}+\dfrac65\right)+\left(\dfrac65\right)^np_n=\dfrac{4n+92}{5^4}+\left(\dfrac65\right)^np_n$
$p_2=1$ であるから、 $\left(\dfrac65\right)^np_n=\left(\dfrac65\right)^2+\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{4n+92}{5^4}=\dfrac{900+2(n+1)(n-2)+92(n-2)}{5^4}=\dfrac{2n^2+90n+712}{5^4}$
これより $n>2$ のとき $p_n=\dfrac{(2n^2+90n+712)5^{n-4}}{6^n}$ となるが、これは $n=2$ のときも成り立つ。