2021年早稲田大商学部問題1(3)

2021 早稲田大学商学部MathJax

$a=\dfrac1x, b=\dfrac2y, c=\dfrac3z$ とおくと $a+b+c=1$ であり、AM-GM不等式より、
$(x-1)(y-2)(z-3)=xyz(1-a)(1-b)(1-c)=xyz(b+c)(c+a)(a+b)\geq xyz\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}\cdot2\sqrt{ab}=48$ .
$a=b=c$ すなわち $x=3, y=6, z=9$ のとき等号が成り立つので、求める最小値は48である。