1987年一橋大問題4 - shaitan's blog

1987 一橋大学MathJax

二枚の札の番号をX, Yとおく。 $P(X=i, Y=j) = P (X=n+1-i, Y=n+1-j)$ であるから、 $P(X+Y>n+1)=P(X+Y< n+1)$ 、これより $P(X+Y>n+1)=\dfrac{1-P(X+Y=n+1)}2$ となる。
従って、求める確率は $P(X+Y>n)=\dfrac12+\dfrac12P(X+Y=n+1)$ となる。
ここで、
$P\left(X=\dfrac{n+1}2\right)=\begin{cases}0 & (n \text{ が偶数})\\ \frac1n &(n \text{ が奇数})\end{cases}$
$P\left(X+Y=n+1 \ \middle|\ X=\dfrac{n+1}2\right)=\begin{cases}\frac1{n-1} & (\text{袋A})\\ \frac2{2n-1} &(\text{袋B})\end{cases}$
nが奇数のとき $P\left(Y=\dfrac{n+1}2 \ \middle|\ X=\dfrac{n+1}2\right)=\begin{cases}0 & (\text{袋A})\\ \frac1{2n-1} &(\text{袋B})\end{cases}$
である。
以上より

(1)の求める確率は、
nが奇数のとき、 $P(X+Y=n+1)=\left(1-\dfrac1n\right)\cdot\dfrac1{n-1}=\dfrac1n$ より $\dfrac12\left(1+\dfrac1{n}\right)$ 、
nが偶数のとき、 $\dfrac12\left(1+\dfrac1{n-1}\right)$

(2)の求める確率は、
nが奇数のとき、 $P(X+Y=n+1)=\dfrac1n\cdot\dfrac1{2n-1}+\left(1-\dfrac1n\right)\cdot\dfrac2{2n-1}=\dfrac1n$ より $\dfrac12\left(1+\dfrac1{n}\right)$ 、
nが偶数のとき、 $\dfrac12\left(1+\dfrac2{2n-1}\right)$