2024 東京大学 前期MathJax
(1) 略
(2)
最初からk秒後()の位置が、kが偶数のときに点Pと一致し、kが奇数のときにx軸に関して点Pと対称な点であるような点Qを考える。
規則(i), (ii)より、点Qは原点中心で点(2,1)を通る円周上にあるから、点Qを極座標表示したときの偏角だけを考えればよい。
規則(i)より、点(2, 1)を極座標で表したときの偏角をとすると点Qは最初に
にいる。
規則(ii)より、ある時刻にQがにいるとき、その1秒後にQは
確率で
、確率
で
、確率
で
、確率
で
にいる。
これより、最初からn秒後にQが (
)にいる確率は
の、4で割った余りがmとなる次数の項の係数の総和に等しい。
は
で割り切れるので、n秒後にQが
にいる確率と
にいる確率は等しい。Qと一致もしくはx軸に関して対称な位置にあるPについても同様のことが成り立つため(2)は示された。
(3)
最初からn秒後にQがにいる確率を考える。
Qは (
)のいずれかにいるが、
であるから、Qは
にいることはない。
Qがにいる確率を
とする。
であり、(2)の結果より
、また、
であるから、
となる。
点Pはnが偶数のときに点Qと一致するので、求める確率は、nが奇数のとき0、nが偶数のときとなる。
[2024/3/1 追記]
(1)の8点のうち、nの偶奇によって取りうるのは4点ずつであることを示したのち、
規則(ii)を
それぞれ「x軸」、「y軸」、「直線y=x」、「直線y=-x」と書かれた白いカード4枚とそれぞれ「x軸」、「y軸」と書かれた赤いカード2枚があり、ランダムにこのカードを引いて戻す。カードに書かれた直線に対して対称な位置に点Pが移動する
と考えると、n回の試行のうち1回でも白いカードを引いた場合、点Pが(a, b), (-b, a), (-a, -b), (b, -a)のいずれにある確率も等しいことが言える。赤いカードのみを引き続ける確率はであるから、
と計算することができる。
[2024/3/17 追記]
点Pが「ある」ではなく「いる」となっているのがちょっと面白い。
日本語では有生性によって存在動詞を使い分けるが、シンハラ語でもそのような使い分けが存在する。主語の数によらず、無生物なら ඉන්නවා /tiyenavā/ となり、生物であれば ඉන්නවා /innavā/となる。*1
