東大2024年前期理系問題2

2024 東京大学前期MathJax
(1)
$t=\tan\theta$ と置換すると、 $f(x)=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}|\tan\theta-x|\mathrm{d}\theta$ となる。
ここで、右辺は $\theta u$ 平面において $u=\tan\theta, u=x, \theta=0, \theta=\dfrac\pi4$ で囲まれた領域の面積である。この面積は $\displaystyle\int_0^xg(u)\mathrm{d}u+\int_x^1\left[\dfrac\pi4-g(u)\right]\mathrm{d}u$ に等しい。ただし $g(u)$ は $0\leq\theta\leq\dfrac\pi4$ の範囲における $\tan\theta$ の逆関数である。
この面積が $f(x)$ に等しいので、 $f'(x)=2g(x)-\dfrac\pi4$ である。求める実数 $\alpha$ は $0<\alpha<\dfrac\pi4$ より $g(\tan\alpha)=\alpha$ であることに注意して、 $x=\tan\alpha$ を代入すると $0=f'(\tan\alpha)=2\alpha-\dfrac\pi4$ より $\alpha=\dfrac\pi8$ となる。
(2)
AB=AC=1であるような直角二等辺三角形を考える。∠Bの二等分線とACの交点をDとする。このとき、BA:BC=DA:DCなので、 $\tan\dfrac\pi8=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BA}}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}+\mathrm{DC}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}}=\dfrac1{1+\sqrt2}=\sqrt2-1$ となる。
(3)
$h(x)=\displaystyle\int_0^x\tan\theta\mathrm{d}\theta$ とおくと、 $h(x)=-\ln|\cos x|=-\dfrac12\ln\cos^2x=-\dfrac12\ln\dfrac{\cos2x+1}2$ である。
$f'(x)$ の符号を考えると、最小値は、
$f\left(\tan\dfrac\pi8\right)$ $=\displaystyle\int_0^{\frac\pi8}\left(\tan\dfrac\pi8-\tan\theta\right)\mathrm{d}\theta-\displaystyle\int_{\frac\pi8}^{\frac\pi4}\left(\tan\dfrac\pi8-\tan\theta\right)\mathrm{d}\theta$ $=-2h\left(\dfrac\pi8\right)+h\left(\dfrac\pi4\right)$ $=\ln\dfrac{1/\sqrt2+1}2-\ln\dfrac1{\sqrt2}$ $=\ln\dfrac{1+\sqrt2}2$ である。
また、 $f'(x)$ の符号を考えると、最大値は $f(0)$ か $f(1)$ である。
$0\leq\theta\leq\dfrac\pi4$ の範囲では、 $\tan\theta$ は下に凸であるから $\tan\theta\leq\dfrac4\pi\theta$ である。この両辺を $\theta$ について $0$ から $\dfrac\pi4$ まで積分して $f(0)\leq\dfrac\pi8$ が得られる。ここで、(1)の $\theta u$ 平面における面積を考えると $f(0)+f(1)=\dfrac\pi4$ であるから $f(0)\leq\dfrac\pi8\leq f(1)$ となる。したがって最大値は、
$f(1)$ $=\displaystyle\int_0^{\frac\pi4}\left(1-\tan\theta\right)\mathrm{d}\theta$ $=\dfrac\pi4-h\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$ である。