角度の最大値

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正弦定理より、∠POQが最大となるのは△POQの外接円Cが最小となるとき。
円Cの中心O'は線分PQの垂直二等分線（y=2）上にあり、円Cは点Oを含むため、半径が最小となるのは円Cがx軸に接するときであり、このときの半径は2。
よって△PO'Qは正三角形なので∠PO'Q=60° であるから、円周角の定理より∠POQ=30°。

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[2021.11.12]方べきの定理を使う方法は思ったよりラクではなかったため修正
△PO'Qが一辺2の正三角形になるので、その高さ は です。
xの値は、円Cがx軸に接するときに、直線PQとx軸の交点R (x, 0) とすると方べきの定理から、 より とも出せます。こちらの方法だと、P, Q の y座標が変な値であっても、θ を最大化する x の値を求めることができます。