不等式bot[94] - shaitan's blog

問題94 pic.twitter.com/oC4GGqIp0Y
— 不等式bot (@Inequalitybot) 2021年10月26日

$\displaystyle\sum_i\dfrac{x_i-x_{i+1}}2=0$ であることに注意して、
(左辺) $=\displaystyle\sum_i\left[\dfrac{x_i^3}{x_i^2+x_ix_{i+1}+x_{i+1}^2} -\dfrac{x_i-x_{i+1}}2\right]$
$=\dfrac12\displaystyle\sum_i\dfrac{x_i^3+x_{i+1}^3}{x_i^2+x_ix_{i+1}+x_{i+1}^2}$
$\geq\dfrac12\displaystyle\sum_i\dfrac{x_i+x_{i+1}}3=$ (右辺)。
ただし、 $a, b>0$ に対し、 $\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq\dfrac{a+b}3$ であることを用いた。