不等式bot[45] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019

$4\text{LHS}\geq\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{4ab+a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2}{(a+b)^2}$
$=6+\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{2ab+2c^2+2(a+b)c}{(a+b)^2}$
である。
ここで、a≧b≧cとしてよく、このとき $\dfrac1{b+c}\geq\dfrac1{a+c}\geq\dfrac1{a+b}$ なので、並べ替え不等式より
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{c^2}{(a+b)^2}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{a^2}{(a+b)^2}$
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{c^2}{(a+b)^2}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{b^2}{(a+b)^2}$
なので $\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{2ab+2c^2}{(a+b)^2}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}=3$ 。
また、
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{c(a+b)}{(a+b)^2}=\sum_{\text{cyc.}}\frac{c}{a+b}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{a}{a+b}$
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{c(a+b)}{(a+b)^2}=\sum_{\text{cyc.}}\frac{c}{a+b}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{b}{a+b}$
なので $\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\frac{2(a+b)c}{(a+b)^2}\geq\sum_{\text{cyc.}}\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2}=3$ 。
以上より4LHS≧12が言えるが、両辺を4で割って示すべき不等式を得る。