不等式bot[40] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019

$f(x)=(a^x+b^x+c^x)^{\frac1x}$ とおく。
$\dfrac d{dx}\log f(x)=\dfrac1{x^2}\left\{x\cdot\dfrac{a^x\log a+b^x\log b+c^x\log c}{a^x+b^x+c^x}-\log(a^x+b^x+c^x)\right\}$
$=\displaystyle\frac1{x^2(a^x+b^x+c^x)}\sum_{\text{cyc.}}a^x\log\left(\dfrac{a^x}{a^x+b^x+c^x}\right)<0$
従ってf(x)は単調減少であるからf(3)>f(4)。この両辺を12乗すると示すべき不等式を得る。