香川大2015年前期問題3

2025 香川大学前期MathJax

(1)略
(2)
$0< x<1$ とする。
$n$ についての数学的帰納法で $x^n<1$ を示す。
(i) $n=1$ のとき
$x<1$ より成立する。
(ii) $n=k$ のとき
$x^k<1$ と仮定すると、 $x<1$ より、 $x^{k+1}=x\cdot x^k< x^k<1$ であるから、 $n=k+1$ のときも $x^{k+1}<1$ が成立する。
(i),(ii)より任意の $n$ について $x^n<1$ である。