2024年一橋大後期5I - shaitan's blog

2024 一橋大学後期MathJax

$m, n>1$ に対し、 $a_{n+m}=a_ma_{n+1}+a_{m-1}a_n$ が成り立つ*1ことを示す。
$m=2$ は成り立つので、 $m=k$ についての成立を仮定すると、 $a_{n+k+1}=a_ka_{n+2}+a_{k-1}a_{n+1}=a_k(a_{n+1}+a_n)+a_{k-1}a_{n+1}=(a_k+a_{k-1})a_{n+1}+a_ka_n=a_{k+1}a_{n+1}+a_ka_n$ より $m=k+1$ でも成り立つので数学的帰納法により示された。
$m=7$ を代入して $a_{n+7}=a_7a_{n+1}+a_6a_n=13a_{n+1}+8a_n\equiv 8a_n\pmod{13}$
よって $a_{n+28}\equiv8^4a_n\equiv(-1)^2a_n=a_n\pmod{13}$ となる。 $2024\equiv8\pmod{28}$ であるから、 $a_{2024}\equiv a_8\equiv8\pmod{13}$ より求める値は8.

*1:少なくともこの記事を書いた時点では、この式はFibonacci sequence - Wikipediaには載っているが、フィボナッチ数 - Wikipediaには見当たらなかった。