shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大2005年後期理系問題3

箱庭数学

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}とおく。
A_{n+4}=BA_{n+3}+CA_{n+2}
=B^2A_{n+2}+BCA_{n+1}+CBA_{n+1}+C^2A_n
=2A_{n+2}-A_nである。
これよりA_{n+4}-A_{n+2}=A_{n+2}-A_nであり、この式の値はnによらない。
A_3-A_1=(BA_2+CA_1)-A_1=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}、A_4-A_2=(BA_3+CA_2)-A_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}であるから、
nが奇数のとき、A_n=A_1+\dfrac{n-1}2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}n+3\\3n-1\end{pmatrix}、
nが偶数のとき、A_n=A_2+\dfrac{n-2}2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}3n\\n\end{pmatrix}
となる。


B,\ Cを上の解答と同じように定める。
P=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\ Q=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}とおくと、B=P+Q,\ C=-PQである。
これより、A_{n+2}-QA_{n+1}=P(A_{n+1}-QA_n)=\cdots=P^n(A_2-QA_1)=\begin{pmatrix}2\\(-1)^{n+1}\end{pmatrix}となる。
よってQA_{n+1}=Q^2A_n+Q\begin{pmatrix}2\\(-1)^n\end{pmatrix}=A_n+\begin{pmatrix}(-1)^n\\n\end{pmatrix}であるからA_{n+2}=A_n+\begin{pmatrix}2+(-1)^n\\2-(-1)^n\end{pmatrix}。
従って、
nが奇数のとき、A_n=A_1+\dfrac{n-1}2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}n+3\\3n-1\end{pmatrix}、
nが偶数のとき、A_n=A_2+\dfrac{n-2}2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}3n\\n\end{pmatrix}
となる。