徳島大2020 - shaitan's blog

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徳島大の問題です。

素数がたくさん並んでいます。

等差素数列。#2020年度 #大学入試 #徳島大学 pic.twitter.com/GesnwL9Qxk
— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月2日

(1)（略）*1

(2)
$\{a_n\}$ は等差数列なので $a_1+a_2+\cdots+a_n=n\cdot\dfrac{a_1+a_n}2$ であるが、 $a_1>2$ より $a_1,a_n$ は奇数なので $\dfrac{a_1+a_n}2 (>a_1)$ は2より大きい整数。
$n\geq2$ より $a_1+a_2+\cdots+a_n$ は合成数である。

(3)
$a_i>3$ より $a_i$ は2,3のいずれの倍数でもない（ $i=1,2,3$ ）。
$a_1,a_2$ はいずれも奇数なので公差を $d$ とすると $d=a_2-a_1$ は2の倍数。
また、 $a_1,a_3$ のそれぞれを3で割った余りは1か2であるが、両者の余りが異なる場合、 $2a_2=a_1+a_3$ が3の倍数となり不適。
よって $a_1,a_3$ のそれぞれを3で割った余りは等しく、 $2d=a_3-a_1$ が3で割り切れるから $d$ は3の倍数。
以上より公差 $d$ は6の倍数。

(4)
$a_1>3$ であり、(3)の結果より公差は6以上なので $a_n>6n-3$ 。
$100=a_1+a_2+\cdots+a_n=n\cdot\dfrac{a_1+a_n}2>n\cdot\dfrac{6n}2=3n^2$ であるから $n\leq5$ 。
$n$ が奇数のとき、 $a_1>3$ より $a_i$ はすべて奇数なので、 $a_1+a_2+\cdots+a_n$ は奇数個の奇数の和なので奇数となり不適。
以上より $n=4$ である。
(3)の結果より公差を $6m$ とおくと、 $a_1=\dfrac{a_1+(a_4-3\cdot6m)}2=\dfrac{a_1+a_4}2-9m=25-9m$ である。
$a_1$ が素数となるのは $m=2$ のときのみであり、このとき $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(7,19,31,43)$ となるが、これは題意を満たす。