群馬大2020前期（医理工）問題1

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群馬大の問題です。

方程式の虚数解についての問題です。多くの基本事項の確認ができると思いますので、演習・確認用として、どうぞ。#2020年度 #大学入試 #群馬大学 pic.twitter.com/Hlm46qEt2N
— 数学教師 (@CLCbXY8IVF7BsPV) 2020年5月10日

(1)
$f(x)=x^3+px^2+qx+1$ とおき、 $f(x)=0$ の $\alpha, \dfrac1\alpha$ 以外の解を $k$ とおく。解と係数の関係より $-1=\alpha\cdot\dfrac1\alpha\cdot k=k$ である。
これより $0=f(-1)=p-q$ であるから示された。

(2)
(1)の結果より $f(x)=(x+1)\{x^2+(p-1)x+1\}$ であるから、 $\alpha,\dfrac1\alpha$ は $x^2+(p-1)+1=0$ の解。
この方程式が虚数解を持つので判別式が負であることが必要。つまり $(p-1)^2-4<0$ ⇔ $-1< p<3$ 。
このとき、一方の虚数解を $\alpha$ とすると解と係数の関係より他方は $\dfrac1\alpha$ となるので十分。