2020年電気通信大問題3

2020 電気通信大学前期MathJax

[I]
$3+3i=z+(1+i)z-(1-i)\bar{z}=z+(1+i)z-\overline{(1+i)z}$ より $\mathrm{Re} z =3$ 。*1
これより $\bar{z}=6-z$ であるから、 $3+3i=(2+i)z-(1-i)(6-z)=3z-6(1-i)$ より $z=3-i$ 。

[II]
$(3+4i)z=(5+ki)\bar{z}$ の両辺の絶対値の2乗をとると、 $(3^2+4^2)|z|^2=(5^2+k^2)|z|^2$ 。
$z\neq0$ のとき、両辺を $|z|$ で割って整理すると $k=0$ が必要。
逆にこのとき $z=2i-1$ はこの式を満たす*2ので $z\neq0$ なる解が存在する。
よって $k=0$ 。