京大1991年後期理系問題5

(1)
$(X_1, Y_1)=(a, b)$ と $(X_1, Y_1)=(n+1-b, n+1-a)$ は一対一対応するので、 $E(X_1)=E(n+1-Y_1)=n+1-E(Y_1)$ 。従って $E(X_1+Y_1)=E(X_1)+E(Y_1)=n+1$ 。

(2)
$X_1=k$ となる確率を $p_k$ とする。 $X_1=k$ のとき、 $Y_1=1, 2,\ldots,k-1$ なので $E(Y_1|X_1=k)=\dfrac{k}2$ 。
従って $E(Y_1)=\displaystyle\sum_{k=1}^np_kE(Y_1|X_1=k)=\dfrac12\sum_{k=1}^nkp_k=\dfrac12E(X_1)$ 。
これと(1)より $E(X_1)=\dfrac23(n+1)$ 。