shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大1993年後期文系問題4

箱庭数学

(1+x+x^2+x^3+x^4)^nを展開したときのx^kの係数をc_k(n)（k\leq4）とおく。
(1+x+x^2+x^3+x^4)^n-(1+x+x^2+x^3+x^4)^{n-1}
=x(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4)^{n-1}であるから、c_k(n)-c_k(n-1)=c_{k-1}(n)（k=1, 2, 3, 4）である。
ここで、c_0(n)=1であり、c_k(0)=0（k>0）であるから、c_1(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^n1=n、c_2(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^nj=\dfrac{n(n+1)}2=\dfrac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}6、c_3(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_2(j)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}6
=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)}{24}、
c_4(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_3(j)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}であり、これが求める係数である。


[2023. 7. 2追記]
f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)^nとする。f(x)のx^4の係数は\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}である。
(1+x+x^2+x^3+x^4)^n=\dfrac{(1-x^5)^n}{(1-x)^n}であり、
p(x)=(1-x^5)^n, q(x)=(1-x)^{-n}とおくと、p(0)=1, p'(0)=p''(0)=p^{(3)}(0)=p^{(4)}(0)=0であるから、
f^{(4)}(0)=\displaystyle\sum_{i=1}^4\binom4ip^{(i)}(0)q^{(4-i)}(0)=q^{(4)}(0)=n(n+1)(n+2)(n+3)となる。
したがって求める係数は\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}。