shaitan's blog

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東工大2017年前期問題2

箱庭数学

F(\alpha)\displaystyle=\int_{\frac\pi2-\alpha}^{\frac\pi2+\alpha}\dfrac{\sin t}{1+\sin^2t}dt\displaystyle=\int_{\sin\alpha}^{-\sin\alpha}\dfrac{-d(\cos t)}{2-\cos^2t}\displaystyle=2\int_0^{\sin\alpha}\dfrac{du}{2-u^2}=\dfrac1{\sqrt2}\displaystyle\int_0^{\sin\alpha}\left(\dfrac1{\sqrt2-u}+\dfrac1{\sqrt2+u}\right)du\displaystyle=\dfrac1{\sqrt2}\left[\log\dfrac{\sqrt2+u}{\sqrt2-u}\right]_0^{\sin\alpha}\displaystyle=\dfrac1{\sqrt2}\log\dfrac{\sqrt2+\sin\alpha}{\sqrt2-\sin\alpha}とおく。

被積分関数をg(t)とおく。g(t)=g(t+\pi)よりf(x)=f(x+\pi)、g(-t)=g(t)よりf(x)=f\left(-x-\dfrac\pi2\right)であるから、最大値は-\dfrac\pi4< x\leq\dfrac\pi4の範囲で求めればよい。
h(|\sin t|)=\dfrac{|\sin t|}{1+|\sin t|^2}=g(t)とおくと、h'(s)=\dfrac{1-s^2}{(1+s^2)^2}\geq0（0\leq s\leq1）よりh(s)は広義単調増加なので、-\dfrac\pi4\leq t\leq\dfrac\pi4\leq u\leq\dfrac{3\pi}4のとき、|\sin t|\leq\left|\sin\dfrac\pi4\right|\leq|\sin u|よりg(t)\leq g\left(\dfrac\pi4\right)\leq g(u)である。
従って、f\left(\dfrac\pi4\right)-f(x)\displaystyle=\displaystyle\int_x^{\frac\pi4}g(t)dt-\int_{x+\frac\pi2}^{\frac{3\pi}4}g(u)du\displaystyle\geq\int_x^{\frac\pi4}g\left(\dfrac\pi4\right)dt-\int_{x+\frac\pi2}^{\frac{3\pi}4}g\left(\dfrac\pi4\right)dt=0であるから、最大値はf\left(\dfrac\pi4\right)=F\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{\sqrt2}\log3となる。

g(t)は周期\piの周期関数である。f(x)+f\left(x+\dfrac\pi2\right)=\displaystyle\int_x^{x+\frac\pi2}g(t)dtはg(t)を一周期分積分した値であるからxの値によらず定数となる。従って、xが最大値を与えるならばx+\dfrac\pi2が最小値を与え、その値は\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}g(t)dt-f(x)=F\left(\dfrac\pi2\right)-f(x)となる。
x=\dfrac\pi4が最大値を与えるので、最小値はF\left(\dfrac\pi2\right)-f\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{\sqrt2}\log\dfrac{3+2\sqrt2}3である。