shaitan's blog

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東工大1999年後期問題1

箱庭数学

\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\sin^2nx}{1+x}dx=\dfrac12\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{dx}{1+x}-\dfrac12\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dxであり、
\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{dx}{1+x}=\biggl[\log(1+x)\biggr]_0^{\frac\pi2}=\log\left(1+\dfrac\pi2\right)となる。
\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dx=-\int_{-\frac\pi{2n}}^{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}\dfrac{\cos2nx}{1+x+\frac\pi{2n}}dxより、
\displaystyle2\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dx=\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dx-\int_{-\frac\pi{2n}}^{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}\dfrac{\cos2nx}{1+x+\frac\pi{2n}}dx
\displaystyle=\int_{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dx-\int_{-\frac\pi{2n}}^0\dfrac{\cos2nx}{1+x+\frac\pi{2n}}dx-\dfrac\pi{2n}\int_{0}^{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}\dfrac{\cos2nx}{(1+x)(1+x+\frac\pi{2n})}dx
ここで、第一項の被積分関数は、積分区間の範囲で絶対値が1以下なので\displaystyle\left|\int_{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}^{\frac\pi2}\dfrac{\cos2nx}{1+x}dx\right|<\left|\dfrac\pi{2n}\right|\to0\quad(n\to\infty)であるからはさみうちの原理により第一項は0に収束する。第二項も同様。第三項の被積分関数も積分区間の範囲で絶対値が1以下で、\displaystyle\left|\dfrac\pi{2n}\int_{0}^{\frac\pi2-\frac\pi{2n}}\dfrac{\cos2nx}{(1+x)(1+x+\frac\pi{2n})}dx\right|<\left|\dfrac\pi{2n}\right|\cdot\left|\dfrac\pi2\right|\to0\quad(n\to\infty)となるから第三項も0に収束する。
以上より、求める積分の値は\dfrac12\log\left(1+\dfrac\pi2\right)である。