四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。
条件：頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。
ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう。
辺OCの中点をMとする。
△OBCの重心をGとするとGはBM上にあり、AG⊥OC。
△OACの重心をG'とするとG'はAM上にあり、BG'⊥OC。
以上より面ABM⊥OCであるからBG⊥OC。同様にCG⊥OBなのでGは△OBCの垂心でもある。
重心と垂心が一致するので△OBCは正三角形。同様に△OCA, △OABも正三角形であるから、△ABCも正三角形。
よって四面体OABCは正四面体。
