shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

東大1995年後期問題1

箱庭数学

(2)
(\omega+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\omega^k=P_n+\omega Q_n+\omega^2R_n
ただし\omega=\dfrac{-1+\sqrt3i}2.
n=3k+l（kは整数、l=0, 1, 2）とおく。
(\omega+1)^n=(-\omega^2)^n=\omega^{2l}(-1)^nより\omega^l(\omega+1)^n=(-1)^nである。
l=0のとき、
(-1)^n=\mathrm{Re}(\omega+1)^n=P_n-\dfrac12(Q_n+R_n),
0=\mathrm{Im}(\omega+1)^n=-\dfrac{\sqrt3}2(Q_n-R_n),
これと2^n=P_n+Q_n+R_nより
R_n=\dfrac{2^n+2(-1)^n}3,
P_n=Q_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}3.

l=1, 2の場合、それぞれ\omega(\omega+1)^n=R_n+\omega P_n+\omega^2Q_n,\ \omega^2(\omega+1)^n=Q_n+\omega R_n+\omega^2P_nなので同様に求まる。
まとめると以下の通り。
P_n=\begin{cases}\dfrac{2^n+2(-1)^n}3 & (n=3k)\\\dfrac{2^n-(-1)^n}3&\text{otherwise}\end{cases}
Q_n=\begin{cases}\dfrac{2^n+2(-1)^n}3 & (n=3k+2)\\\dfrac{2^n-(-1)^n}3&\text{otherwise}\end{cases}
R_n=\begin{cases}\dfrac{2^n+2(-1)^n}3 & (n=3k+1)\\\dfrac{2^n-(-1)^n}3&\text{otherwise}\end{cases}